设$A,B$是$G$的

子群

.则$A\bigcup B$是$G$的子群的充要条件是$A\subseteq B$或$B\subseteq A$.

证明：$\Leftarrow$:这是显然的.

$\Rightarrow$:假若$\exists b\in B$,使得$b\not\in A$,现在我要证明$A\subseteq B$.否则若存在$a\in A,a\not\in B$.则可得$ab\not\in A\bigcup B$(为什么?提示：根据

).这与$A\bigcup B$是子群矛盾.